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探究三角形的等积分割线

时间:2017-10-07 数学毕业论文 我要投稿

      如何将一个三角形面积分割成两个相等的部分,是我们已熟知的问题,只要沿三角形的中线,即可把三角形分割成面积相等的两个部分,许多同学认为,这样的分割线只有三条,但是,这样的分割线到底有多少条呢?
        问题1:请用一条直线,把△ABC分割为面积相等的两部分。
        解:取BC的中点,记为点D,连结AD,则AD所在直线把△ABC分成面积相等的两个部分。
        大家知道,这样分割线一共有三条,分别是经过△ABC的三条中线的直线,能把△ABC的面积分成相等两部分。除了这三条以外,还有很多种,并且对于△ABC边上任意一点,都可以找到一条经过这点且把三角形面积平分的直线。
        问题2:点E是△ABC中AB边上的任意一点,且AE≠BE,过点E求作一条直线,把△ABC分成面积相等的两部分。      
        解:如图2,取AB的中点D,连结CD,过点D作DF∥CE,交BC于点F,则直线EF就是所求的分割线。
        证明:设CD、EF相交于点P
        ∵点D是AB的中点
        ∴AD=BD     ∴S△CAD=S△CBD
        ∴S四边形CAEP+S△PED=S四边形DPFB+S△PCF
        又∵DF∥CE   ∴S△FED=S△DCF(同底等高)
        即:S△PED=S△PCF
        ∴S四边形CAEP=S四边形DPFB
        ∴S四边形CAEP+SPCF=S四边形DPFB+S△PED
        即S四边形AEFC=S△EBF
        由此可知,把三角形面积进行平分的直线有无数条,而
        且经过边上任意一条直线,运用梯形对角线的特殊性质,很容易作出这样的分割线。
        那么,这些分割线会不会交于某特定的一点呢?
        大家知道,三角形的三条中线都把三角形分成面积相等的两个部分,而三条中线交于它的重心,如果这些分割线相交于一点,那么这点必定是三角形的重心。
        问题3:已知:如图3,在△ABC中,G是△ABC的重心,过点G作EF∥BC交AB于点E,交AC于点F,求证:S△AEF=S△ABC.
        证明:延长AG,交BC于点D
        ∵点G是△ABC的重心
        ∴AG:AD=2:3
        又∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC
       
        由本题可得:过AB边上的点E,经过重心G的直线,EF把三角形面积分为4:5两部分,直线EF并不是三角形的等积分割线。而根据问题2,可以找到一条过点E把三角形面积平分的一条直线,这条直线必不过重心G。
        综上可知,三角形的等积分割线有无数条,而且任意给定边上一点,都可以作出相应的等积分割线,且只有一条,所有的分割线并不相交于三角形的重心。

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